Chapter 11

Properties of Stock Options

11.1 Factors Affecting Option Prices

옵션 가격에 영향을 미치는 요소는 크게 6가지가 있으며, 이 변수들과 옵션 가격과의 상관관계는 다음과 같습니다.

Variable European Call European Put American call American put
Current stock price, \(S_0\) + - + -
Strike prkce, \(K\) - + - +
Time to expiration, \(T\) ? ? + +
Volatility, \(\sigma\) + + + +
Risk-free rate, \(r_f\) + - + -
Amount of future dividend, \(d\) - + - +
  1. 주가 및 행사가격 : 만기 pay-off를 고려하면 쉽게 이해할 수 있습니다.
  2. 만기
    • 미국형 : 언제나 행사할 수 있으므로 만기가 길수록 옵션 가치는 증가
    • 유럽형 : 일반적으로 만기가 길수록 옵션 가치가 증가하지만, 중도배당이 존재하는 경우나 Deep-ITM 풋옵션의 경우에서는 만기가 짧은 옵션이 유리한 경우도 존재함
  3. 변동성 : 간단히 설명하자면, 옵션 매수자의 경우 이익은 제한이 없고 손실은 프리미엄으로 제한되어 있으므로 변동성이 클 수록 옵션 기대이익이 증가하게 되므로 변동성과 옵션가격은 항상 양의 상관관계에 있음
  4. 무위험이자율 : 일반적으로 무위험이자율이 증가하면 주가의 요구수익률이 증가하게 되고, 더불어 미래 현금흐름의 현재가치가 감소하는 효과가 있음. 즉, 콜옵션의 가치는 증가하고 풋옵션의 가치는 감소하는 경향이 있음.
  5. 배당 : 배당이 존재하면 배당락으로 주가가 하락함. 콜옵션의 가치는 감소하고 풋옵션의 가치는 증가함.

11.2 Assumptions and Notation

이전 챕터와 동일하게 모든 시장참가자는 거래비용이 없고, 동일한 세율을 적용받으며, 무위험이자율로 빌리거나 빌려줄 수 있다는 가정을 사용할 것 입니다.

대문자는 American option을, 소문자는 European option을 의미합니다.

11.3 Upper and Lower Bounds for Option Prices

Upper bound

기본적으로, 권리행사를 통해 행사가격을 지불하고 주식을 사거나(콜), 행사가격에 주식을 파는(콜) 옵션의 성질에 따라 콜옵션은 현재 주가보다 비쌀 수 없고, 풋옵션은 행사가격의 현재가치보다 비쌀 수 없습니다.

콜옵션이 현재 주가보다 비싸다면 콜옵션 매도+주식 매수를, 풋옵션이 행사가격의 현재가치보다 비싸다면 풋옵션 매도+무위험이자율에 투자함으로써 간단한 차익거래가 가능하기 때문입니다.

\[C\leq S_0,\;\; c\leq S_0,\;\; P\leq K,\;\; p\leq Ke^{-rT}\]

Lower bound for Non-dividend

European

두 가지 포트폴리오를 비교해보겠습니다.

  1. 콜옵션 매수(\(c\)) 및 행사가격의 현재가치(\(Ke^{-rT}\))만큼 무위험이자율에 투자
  2. 주식을 현재가격(\(S_0\))에 매수

만기시점 \(T\)에 두 포트폴리오의 가치는 다음과 같습니다.

  1. \(max(S_T-K,0)+K=max(S_T,K)\)
  2. \(S_T\)

이에 따라, 포트폴리오 1의 가치는 항상 2보다 커야하므로, \(c\geq S_0-Ke{-rT}\)가 만족합니다.

마찬가지로,

  1. 풋옵션 매수(\(p\)) 및 주식을 현재가격(\(S_0\))에 매수
  2. 행사가격의 현재가치(\(Ke^{-rT}\))만큼 무위험이자율에 투자

만기시점 \(T\)에 두 포트폴리오의 가치는 다음과 같습니다.

  1. \(max(K-S_T,0)+S_T=max(K,S_T)\)
  2. \(K\)

이에 따라, \(p\geq Ke{-rT}-S_0\)가 만족합니다.

한편, 옵션의 가치는 항상 0보다 크거나 같아야하므로 배당이 없는 유럽형 옵션의 하한은 다음과 같습니다.

\[c\geq max(S_0-Ke{-rT},0),\;p\geq max(Ke^{-rT}-S_0,0)\]

American

먼저, 배당이 없을 때는 콜옵션의 시간가치가 항상 0보다 크거나 같으므로 미국형 콜옵션과 유럽형 콜옵션의 가격이 항상 같습니다.

Tip

배당이 없다면, 조기행사의 가치는 “0”입니다.

만약, 만기 이전에 내재가치가 높아 미국형 콜옵션을 조기행사하고자 하는 투자자가 있다면, 조기행사 대신에 주식을 공매도하고 공매도대금을 무위험이자율에 투자함으로써 무위험차익을 얻을 수 있습니다.

직관적으로, 주식을 보유함으로써 발생하는 (+) 현금흐름이 없으므로, 미리 주식을 매수함으로써 얻는 이익은 없지만 행사가격만큼의 현금에 대한 기회비용이 발생하기 때문에 조기행사의 가치가 0이됩니다.

반면, 풋옵션의 경우 조기행사함으로써 행사가격만큼 현금이 들어오기 때문에 조기행사할 유인이 발생할 수 있습니다.

한편, 미국형 풋옵션은 언제나 권리행사를 할 수 있으므로 \(P\geq max(K-S_0,0)\)의 하한을 갖게 됩니다.

옵션의 종류별로 상한 및 하한을 정리하면 아래와 같습니다.

\[max(S_0-Ke^{-rT})\leq c=C\leq S_0\]

\[max(Ke^{-rT}-S_0)\leq p\leq Ke^{-rT},\;\;max(K-S_0,0)\leq P \leq K\]

11.4~6 Put-Call Parity

옵션 하한을 산출할 때 이용한 포트폴리오를 이용해 콜옵션과 풋옵션의 가격간에 중요한 관계를 유도할 수 있습니다.

콜옵션과 풋옵션의 포트폴리오 1을 주목해봅시다.

  1. 콜옵션 매수(\(c\)) 및 행사가격의 현재가치(\(Ke^{-rT}\))만큼 무위험이자율에 투자
  2. 풋옵션 매수(\(p\)) 및 주식을 현재가격(\(S_0\))에 매수

만기시점의 포트폴리오의 가치는 다음과 같습니다.

  1. \(max(S_T-K,0)+K=max(S_T,K)\)
  2. \(max(K-S_T,0)+S_T=max(K,S_T)\)

즉, 두 포트폴리오는 만기 \(T\) 시점에 동일한 Pay-off를 가지고 있는 동일한 포트폴리오입니다.

따라서 두 포트폴리오의 가치는 동일해야하므로, 아래와 같이 Put-Call parity를 유도할 수 있습니다.

\[c+Ke^{-rT}=p+S_0\]

ATM 옵션의 가격

Put-call parity에서 ATM(\(S_0=K\)) 옵션인 경우,

\[c+S_0e^{-rT}=p+S_0\Rightarrow c-p=S_0(1-e^{-rT})>0\]

즉, ATM에서는 콜옵션의 가치가 풋옵션보다 높은 것을 알 수 있습니다.

Parity in American options

풋콜패리티는 유럽형 옵션에서만 성립하므로, 미국형 옵션에서는 이와 유사한 부등식을 유도할 수 있습니다.

먼저, 다음 세가지 포트폴리오를 고려해보겠습니다.

  1. 콜옵션 매수(\(c\)) 및 행사가격의 현재가치(\(Ke^{-rT}\))만큼 무위험이자율에 투자
  2. 풋옵션 매수(\(p\)) 및 주식을 현재가격(\(S_0\))에 매수
  3. 미국형 풋옵션 매수(\(P\)) 및 주식을 현재가격(\(S_0\))에 매수

Put-call parity에 따라 1과 2의 가치가 같고, 미국형 옵션의 가치는 유럽형 옵션보다 항상 크거나 같으며, 배당이 없을 때는 미국형 콜옵션과 유럽형 콜옵션의 가격이 같으므로 아래와 같이 정리할 수 있습니다.

\[c+Ke^{-rT}=p+S_0\leq P+S_0\Rightarrow c-P=C-P\leq S_0-Ke^{-rT}\]

다음으로, 두가지 포트폴리오를 고려해보겠습니다.

  1. 유럽형 콜옵션 매수(\(C\)) 및 행사가격(\(K\))만큼 현금 보유
  2. 미국형 풋옵션 매수(\(P\)) 및 주식을 현재가격(\(S_0\))에 매수

먼저, 조기행사 없이 만기보유하는 경우 두 포트폴리오의 가치는,

  1. \(max(S_T-K,0)+Ke^{rT}=max(S_T,K)+K(e^{rT}-1)\)
  2. \(max(K-S_T,0)+S_T=max(K,S_T)\)

포트폴리오 1에서는 현금에서 무위험이자율만큼 수익이 발생하므로 포트폴리오 2보다 가치가 높게 됩니다.

다음으로, 풋옵션에서 조기행사가 발생하는 경우를 살펴보겠습니다.

조기행사가 \(0<t<T\) 인 t시점에 발생한다면, \(t\)시점에 풋옵션의 포트폴리오 2의 가치는 \(K\)가 되며 만기 \(T\) 시점에는 \(Ke^{r(T-t)}\)가 됩니다.

반면, \(T\) 시점에 포트폴리오 1의 가치는 옵션이 없더라도 \(Ke^{rT}\)이므로, 항상 포트폴리오 1의 가치가 크거나 같게됩니다.

즉, \(C+K=c+K\geq P+S_0\)가 만족하며, 상한 및 하한을 정리하면 아래와 같습니다.

\[S_0-K\leq C-P\leq S_0-Ke^{-rT}\]

Effect of Dividends

European

이제, 배당이 있는 경우를 살펴보겠습니다. 만기시점까지 주식에서 발생하는 배당금의 현재가치를 \(D\)라고 하고, 다음 포트폴리오를 살펴보겠습니다.

  1. 유럽형 콜옵션 매수(\(c\)) 및 \(D+Ke^{-rT}\)만큼 무위험이자율에 투자
  2. 주식 매수(\(S_0\))
  3. 유럽형 풋옵션 매수(\(p\)) 및 주식 매수(\(S_0\))
  4. \(D+Ke^{-rT}\)만큼 무위험이자율에 투자

위와 같은 방식으로 만기 \(T\)시점에 각 포트폴리오의 가치를 비교하면,

  1. \(max(S_T-K,0)+De^{rT}+K=max(S_T,K)+De^{rT}\)
  2. \(S_T+De^{rT}\)
  3. \(max(K-S_T,0)+S_t+De^{rT}=max(K,S_T)+De^{rT}\)
  4. \(De^{rT}+K\)

각 옵션의 하한 및 풋콜패리티를 정리하면,

\[(1)\geq (2)\Rightarrow c\geq max(S_0-D-Ke^{-rT},0)=max(S_0e^{-dT}-Ke^{-rT})\]

\[(3)\geq (4)\Rightarrow p\geq max(D+Ke^{-rT}-S_0,0)=max(Ke^{-rT}-S_0e^{-dT})\]

\[(3)\equiv(4)\Rightarrow c+D+Ke^{-rT}=p+S_0\Rightarrow c-p=S_0-D-Ke^{-rT}=S_0e^{-dT}-Ke^{-rT}\]

Tip

주식의 배당이 기간 중 연속복리배당수익률 \(d\)로 주어져 있다면, 포트폴리오에서 주식을 매수할 때 \(S_0e^{-dT}\)만큼 매입하고, 배당은 주식에 재투자한다고 가정하면 등식의 마지막 결과를 얻을 수 있습니다.

American

앞서 배당이 없는 경우에서 \(C-P\leq S_0-Ke^{-rT}\)가 성립하는 것을 살펴보았습니다.

변수와 옵션가격 간의 관계에서, 배당은 콜옵션에서 (-), 풋옵션에서 (+)인 것을 확인하였습니다. 나중에 살펴보겠으나, 동일한 배당이 존재한다면 이 둘의 변화는 상쇄될 수 있습니다.

따라서 \(C-P\) 포트폴리오에서 배당이 존재하는 경우, 두 변화분은 상쇄되므로 변동이 없게 되고, 따라서 배당이 존재하는 경우에 대해서도 위의 상한이 성립하게 됩니다.

다음으로, 두가지 포트폴리오를 고려해보겠습니다.

  1. 유럽형 콜옵션 매수(\(c\)) 및 \(D+K\)를 무위험이자율에 투자
  2. 미국형 풋옵션 매수(\(P\)) 및 주식 매수(\(S_0\))

조기행사가 없다면 만기 \(T\)시점의 가치는 포트폴리오 1이 항상 크거나 같습니다.

  1. \(max(S_T-K,0)+(D+K)e^{rT}=max(S_T,K)+De^{rT}+K(e^{rT}-1)\)
  2. \(max(K-S_T)+S_T+De^{rT}=max(K,S_T)+De^{rT}\)

다음으로, 배당이 발생한 후 조기행사가 \(0<t<T\) 인 t시점에 존재하는 경우, t시점의 포트폴리오 2의 가치는 \(K+De^{rt}\)이며, 만기 \(T\)시점의 가치는 \(Ke^{r(T-t)}+De^{rT}\)입니다.

반면, 포트폴리오 1은 옵션이 없더라도 만기 \(T\) 시점에 \((K+D)e^{rT}\)만큼의 가치가 있으므로 포트폴리오 1의 가치가 항상 크게 됩니다.

따라서, \(C+D+K\geq c+D+K\geq P+S_0\)가 성립하며, 미국형 옵션에서 배당을 반영한 부등식은 아래와 같습니다.

\[S_0e^{-dT}-K=S_0-D-K\leq C-P \leq S_0-Ke^{-rT}\]