채권분석 과제3

Question 1

투자자 A 는 표면금리 7% 미 국채를 액면 1,000 usd 구입하였다. 이 국채의 호가는 101-25+ 이다. 결제일은 2024년 2월 5일이고, 쿠폰 지급일은 매년 4월 15일, 10월 15일이다. 지불한 invoice price(full price)를 센트까지만 구하시오.

Answer

먼저, 액면 100당 Quote price(clean price)=101-25+=101+25/32+1/64=101.7969입니다.

다음으로 경과이자(accrued interest)는 “(지난이자지급일로부터 경과일)/이자지급주기*이자”로 계산할 수 있습니다. (real/real 기반)

경과일은 113일(2023.10.15~2024.02.05), 이자지급주기는 183일(2023-10-15~2024.04.15)이므로, 경과이자는 약 21.6120입니다.

따라서, Full price는 약 1039.58입니다.

library(tidyverse)
clean <- (101+25/32+1/64)*10
day_interest <- as.integer(ymd(20240415)-ymd(20231015))
day_accrued <- as.integer(ymd(20240205)-ymd(20231015))
accrued <- 35*day_accrued/day_interest
full <- clean+accrued
paste(clean,accrued %>% round(6),full %>% round(6),sep=" / ")
[1] "1017.96875 / 21.612022 / 1039.580772"

Question 2

시장에서 현물이자율이 1년 4%, 2년 5% 라 가정하자. 그리고 1년 현물이자율의 연 변동(log rate)의 표준편차는 0.005 라 하자. 1년 후 1년 현물이자율의 시나리오를 \(r_u, r_d\) 라 놓으면 시장 정보를반영하는 이 두 값을 구하시오.

Answer

1년 후 현물이자율이 상승하였을 때를 \(r_u\), 하락하였을 때를 \(r_d\)로 나눌 수 있으며 현물이자율의 로그수익률의 연표준편차가 0.005이므로, 아래와 같이 표현할 수 있습니다.

\[r_u=r_de^{2\sigma}=r_de^{0.01}\]

한편, 2년 현물이자율에 투자한 zero-coupon bond와 1년 zero-coupon 및 1년 후에 다시 zero-coupon(forward)에 투자한 포트폴리오의 가치는 같아야 하므로,

\[\frac{100}{1.05^2}=\frac{100}{(1.04)(1+E(r_1))}=0.5\times \frac{100}{1.04(1+r_u)}+0.5\times \frac{100}{1.04(1+r_d)}\]

이분법을 통해 값을 추정하면, \(r_u\approx 6.04\%.\;r_d\approx 5.98\%\)

initial_d <- 0.01; initial_u <- 0.10
r_d <- (initial_u+initial_d)/2; r_u <- r_d*exp(0.01)

while(abs(0.5*100/(1.04*(1+r_u))+0.5*100/(1.04*(1+r_d))-100/1.05^2)>0.001){
  if(0.5*100/(1.04*(1+r_u))+0.5*100/(1.04*(1+r_d))-100/1.05^2>0){initial_d <- r_d}
  if(0.5*100/(1.04*(1+r_u))+0.5*100/(1.04*(1+r_d))-100/1.05^2<=0){initial_u <- r_d}
  r_d <- (initial_u+initial_d)/2
  r_u <- r_d*exp(0.01)}
paste(r_u %>% round(4),r_d %>% round(4))
[1] "0.0604 0.0598"

Question 3

2년 만기이고 표면금리가 8% 인 회사채를 가정하자. 표면금리의 지급은 연 1회이다. 그리고 이 회사채는 1년 시점에서 액면가 100 으로 call 할 수 있는 수의상환채이다. 신용위험 때문에 시장 에서는 이 회사채를 위에서 구한 금리모형에 스프레드를 더하여 그 가치를 계산한다.

시장가가 101.9 라 할 때, static spread 와 option-adjusted spread 를 구하여라

Answer

먼저, 수의상환부회사채의 시장가격 101.9와 문제 2의 zero-rate를 통해 Static spread를 산출하면 아래와 같습니다.

\[101.9=\frac{8}{(1.04+ss)}+\frac{108}{(1.05+ss)^2}\Rightarrow ss\approx 1.988\%\]

market_price <- 101.9; initial_d <- 0.001; initial_u <- 0.1
ss <- (initial_u+initial_d)/2

while(abs(8/(1.04+ss)+108/(1.05+ss)^2-market_price)>0.00001){
  if(8/(1.04+ss)+108/(1.05+ss)^2-market_price>0){initial_d <- ss}
  if(8/(1.04+ss)+108/(1.05+ss)^2-market_price<=0){initial_u <- ss}
  ss <- (initial_u+initial_d)/2}
ss
[1] 0.01988313

다음으로, 문제 2의 금리모형을 이용하여 OAS를 구해보겠습니다.

먼저, OAS를 적용한 할인율은 zero rate + OAS로 표현할 수 있습니다.

문제 2에 따라 1년 zero-rate는 4%, 상승시 \(r_u=0.0604\), 하락시 \(r_d=0.0598\)이므로,

\[r^*_1=0.04+OAS,\;r^*_u=0.0604+OAS,\;r_d^*=0.0598+OAS\]

수의상환회사채는 1년 후 가격이 액면가보다 높으면 100에 상환되므로, \(r_u^*,\;r_d^*\)가 8%보다 높은 경우 100에 상환됩니다.

따라서, 수의상환회사채의 금리 상승/하락에 따른 가치평가는 아래와 같습니다.

\[101.9=\frac{1}{1+r_1^*}[8+\frac{1}{2}(min\{\frac{108}{1+r_u^*},100\}+min\{\frac{108}{1+r_d^*},100\})]\]

\[=\frac{1}{1.04+OAS}[8+\frac{1}{2}(min\{\frac{108}{1.0604+OAS},100\}+min\{\frac{108}{1.0598+OAS},100\})]\]

\[\Rightarrow OAS\approx 1.978\%\]

initial_d <- 0.001; initial_u <- 0.1
OAS <- (initial_u+initial_d)/2
while(abs((1/(1.04+OAS))*(8+0.5*(min(108/(1+r_u+OAS),100)+min(108/(1+r_d+OAS),100)))-market_price)>0.00001){
  if((1/(1.04+OAS))*(8+0.5*(min(108/(1+r_u+OAS),100)+min(108/(1+r_d+OAS),100)))-market_price>0){initial_d <- OAS}
  if((1/(1.04+OAS))*(8+0.5*(min(108/(1+r_u+OAS),100)+min(108/(1+r_d+OAS),100)))-market_price<=0){initial_u <- OAS}
  OAS <- (initial_u+initial_d)/2
}
OAS
[1] 0.01978343
Difference in each spreads

Nominal spread, Static spread, Options adjusted spread

  1. Nominal spread : 단순히 국채 vs. 회사채의 YTM을 비교
  2. Static spread : zero rate + \(\alpha\)를 계산, 기간구조를 반영하고있으나 향후 금리변동은 반영하지 않고 단순 현금흐름만 비교하므로, Zero-volatility spread라고도 함
  3. Options adjusted spread : 수의상환채의 옵션에 따른 향후 현금흐름 변동가능성을 고려하여 산출. 미래 금리변동으로 인해 옵션이 권리행사되는 경우를 감안하여 산출

Question 4

PSA 방법에 따르면 PSA 스피드에 따라 월별 CPR 이 결정되고, 이는 다시 SMM 을 결정한다. 강의노트의 PSA 방법론을 참조하여 다음의 SMM 표를 완성하시오.

월 100 PSA 60 PSA 230 PSA
1
20
200

Answer

PSA란 연조기상환율(CPR:Conditional Prepayment Rate)이 매달 0.2% 증가하며, 6%까지 증가한 후 만기까지 지속되는 형태의 조기상환모형입니다.

100 PSA가 기준이며, 50 PSA인 경우 매달 0.1%씩 증가 등 비율이 달라지게됩니다.

다음으로, 월별조기상환율(SMM:Single Monthly Mortality rate)는 CPR을 월환산한 것으로, \(1-SMM=(1-CPR)^\frac{1}{12}\)입니다.

이에 따라 산출한 (1-SMM) 표는 아래와 같습니다.

월 100 PSA 60 PSA 230 PSA
1 \((1-0.2\%)^\frac{1}{12}\) \((1-0.2\%\times 0.6)^\frac{1}{12}\) \((1-0.2\%\times 2.3)^\frac{1}{12}\)
20 \((1-4\%)^\frac{1}{12}\) \((1-4\%\times 0.6)^\frac{1}{12}\) \((1-4\%\times 2.3)^\frac{1}{12}\)
200 \((1-6\%)^\frac{1}{12}\) \((1-6\%\times 0.6)^\frac{1}{12}\) \((1-6\%\times 2.3)^\frac{1}{12}\)

이를 정리한 SMM 표는 아래와 같습니다.

월 100 PSA 60 PSA 230 PSA
1 0.000167 0.0001 0.000384
20 0.003396 0.002022 0.008010
200 0.005143 0.003051 0.012299

Question 5

다음의 CMO 는 9% 금리를 갖는 모기지 풀을 담보로 가지고 있다.

tranche par(m USD) coupon rate(%)
A 300 7
B 200 6.75
C 200 7.25
D 250 7.75

투자자가 금리 9% 의 notional IO 투자를 원한다고 하자. 해당 상품의 액면가를 계산하시오.

Answer

먼저, CMO의 담보에서는 9%의 현금흐름이 발생하는 반면 각 tranche의 쿠폰은 9% 미만이므로 초과이자가 $17.125m만큼 발생합니다.

이 초과이자분으로 금리 9%의 원금 없이 이자만 지급하는 구조화채권(Nominal IO)을 설계한다면, 액면가(명목금액)은 9%의 이자로 CMO의 초과수익인 $17.125m를 지급해야합니다.

따라서, 액면가(명목금액)는 $17.125m/9%=$190.2778m입니다.

total_inflow=(300+200+200+250)*0.09
total_outflow=300*0.07+200*0.0675+200*0.0725+250*0.0775
excess_interest=total_inflow-total_outflow
notional=excess_interest/0.09
paste(excess_interest, notional, sep=" / ")
[1] "17.125 / 190.277777777778"